Il modello di autocorrelazione spaziale: Spatial Autoregressive Model (SAR).

Utilizzando questo modello si puo' rispondere a domande del tipo: quanto il livello di criminalita' dell'Emilia Romagna e' influenzato dai livelli di criminalita' delle altre regioni Italiane? Oppure: quanto il livello di tassazione della citta' di Matera e' influenzato dal livello di tassazione delle citta' vicine?
La variabile dipendente viene considerata in funzione dei suoi ritardi spaziali (stessa variabile in altri luoghi) e dei regressori.

Il modello SAR:

$y_{i} =\rho \sum_{j} w_{ij} y_{j} + {\bf x} {\bf \beta} + \varepsilon_{i}$
$y_{i} = \rho {\bf w_{i}}' {\bf y} + {\bf x} {\bf \beta} + \varepsilon_{i}$
${\bf y} =\rho {\bf W} {\bf y} + {\bf X} {\bf \beta} + {\bf \varepsilon}$

Affinche' lo stimatore dei minimi quadrati sia non distorto e consistente il termine d'errore non deve essere correlato con i regressori.
Ma.....in questo modello la variabile ritardata spazialmente $y_{j}$ e' correlata con il termine d'errore $\varepsilon_{i}$:

$y_{i} =\rho y_{j} + x_{i} \beta + \varepsilon_{i}$

$y_{j} = \rho y_{i} + x_{j} \beta + \varepsilon_{j}$
$....$
$y_{i}=\rho (\rho y_{i} + x_{j} \beta + \varepsilon_{j}) + x_{i} \beta + \varepsilon_{i}$
$= \rho(\rho(\rho y_{j} + x_{i} \beta +\varepsilon_{i}) + x_{j} \beta + \varepsilon_{j}) +x_{i} \beta + \varepsilon_{j}$

In generale:

${\bf y} = \rho {\bf W} {\bf y} + {\bf X} {\bf \beta} + {\bf \varepsilon}$
${\bf W} {\bf y} = {\bf W X \beta} + \rho {\bf W}^{2} {\bf X \beta} + \rho^{2} {\bf W} ^{3} {\bf X \beta}......$
$+ {\bf W \varepsilon} + \rho {\bf W}^{2} {\bf \varepsilon} + \rho^{2} {\bf W}^{3} {\bf \varepsilon}....$

La variabile ritardata spazialmente in media include: i termini di errore dei "vicini"; i termini d'errore dei vicini dei vicini; i termini d'errore dei vicini dei vicini dei vicini ecc...
Quindi $y$ in ogni osservazione $i$ dipende dai termini d'errore delle altre osservazioni.

Tipicamente viene utilizzato il metodo della Massima Verosimiglianza per la stima dei parametri:

${\bf y}({\bf I - \rho W}) - {\bf X} \bf{\beta}= {\bf \varepsilon}$

I termini d'errore sono considerati come distribuiti normalmente, omoschedastici,
non autocorrelati: ${\bf \varepsilon}: N(0, \sigma^{2} {\bf I_{n}})$
La funzione di verosimiglianza, che e' la probabilita' di osservare ${\bf y}$, dato un valore per
i parametri $\rho, \sigma, {\bf \beta}$, i regressori ${\bf X}$ e la matrice dei pesi spaziali
${\bf W}$.
La funzione in logaritmi (log-likelihood):
$ln L = -\frac{n}{2} ln 2 \pi - \frac{n}{2} log \sigma^{2} + det ({\bf I} - \rho W)=
-\frac{1}{2 \sigma^{2}} ({\bf y - \rho W y - X \beta})'({\bf y - \rho W y - X \beta})$

Lee (2004) dimostra che il metodo della Massima Verosimiglianza fornisce stimatori consistenti con l'assunzione che il modello econometrico rappresenti il reale processo generatore dei dati.

Referenze:

Appunti dalle Lezioni di Tecniche di Economia Spaziale di Steve Gibbons, Anno 2012 (LSE).

Gibbons and Overman, 2012: "Mostly Pointless Spatial Econometrics?" Journal Of Regional Science, Vol. 52, No. 2 , pp. 172–191.

Lee, Lung-Fei. 2004. "Asymptotic Distributions of Quasi-Maximum Likelihood Estimators for Spatial Econometric Models", Econometrica , 72, 1899–1926.

Obiettivi del Blog

Obiettivo del blog e' di raccogliere pensieri, opinioni e suggestioni sull'econometria spaziale e i problemi connessi. L'econometria spaziale ha avuto un grande sviluppo megli ultimi anni negli studi di economia e di scienze politiche. Rappresenta un'importante sfida per l'economista e lo scienziato politico perche' non e' materia con basi definite. Per essere precisi, l'econometria spaziale "classica" si sta affermando in questi anni, ed essa risulta enorme fonte di indagine scientifica teorica e pratica, e di contrastanti opinioni sulle metodologie da utilizzare sino a mettere in discussione l'utilita' stessa dei metodi spaziali per stabilire la causalita' tra variabili con connotazione geografica.

L'econometria spaziale ha la grande potenzialita' di trovare in diversi filoni di indagine scientifica risorse per risolvere i problemi econometrici relativi all'indagine spaziale. Se la materia trae una classica risorsa dalla studio delle serie storiche, oggi trova relazione con lo studio delle reti e con i modelli gerarchici.

Per il fascino proprio della ricerca nella definizione dei problemi in un ambito non esplorato il blog trova ragione di esistere, con l'augurio che sia utile non solo al suo autore.